Derivada: una explicación intuitiva

Autor: Davide Coppola

Traductor: Paula Vidal

 

Aunque a veces se pasa por alto, las matemáticas son una parte fundamental del aprendizaje automático (ML) y el aprendizaje profundo (DL). De hecho, es la base sobre la cual se basan ambas disciplinas: sin ninguna noción de álgebra o análisis, no podrían existir. Un elemento clave en ML, derivado del análisis matemático, es la noción de derivada. Pero no debes tenerle miedo; ¡es mucho más simple de lo que piensas!

 

Primero, definamos qué es una función: se puede pensar como una caja negra (Fig. 1): un número n de valores de entrada o variables independientes ingresan al cuadro, se procesan de acuerdo con un procedimiento específico determinado por la ecuación (o ecuaciones) que describen la función, y finalmente m nuevos valores de salida o variables dependientes salen de la caja.

Para el resto de este tutorial, nos enfocaremos en funciones unidimensionales, es decir, funciones que tienen solo una entrada y una salida. Ejemplos comunes de este tipo de funciones son:

y = mx + q

y = ax^2 + bx + c

y = ln(x()

Donde m, q, a, b y c son solo coeficientes numéricos, puede considerarlos como cualquier número constante. 1 es la ecuación de una recta, 2 describe una parábola y 3 es la función de logaritmo natural. Como puede ver, todas tienen una variable independiente (x) y una dependiente (y): una función que describe la relación entre las dos variables, por lo que determina la “forma” en el espacio.

Pero si una función ya describe una curva, entonces ¿por qué necesitamos derivadas?

En general, las funciones no son tan simples como los ejemplos anteriores y puede ser imposible o poco práctico probar todos los valores posibles de la variable independiente para comprender el comportamiento de la función. Por lo tanto, la derivada de una función proporciona información adicional sobre la curva que se estudia.

 

¿Qué es una derivada entonces? La derivada de una función f es otra función f ‘(x), tomada de la original, que describe la variabilidad de f, es decir, cómo se comporta la tasa de cambio de la función con respecto a la variable independiente. La derivada evaluada en un punto x describe cómo está cambiando la función entorno a  x. Por ejemplo, si la derivada es positiva, podemos esperar que los puntos que siguen x tengan valores mayores que y. Esto significa que la función está creciendo de acuerdo con el aumento de x. Del mismo modo, si la derivada es negativa en x, el valor de la función disminuye a medida que x aumenta. Por lo tanto, la derivada en cualquier punto indica la inclinación de la línea de tangente a la curva en ese punto, como se puede ver en la Fig. 2.

 

 

 

La inclinación (o coeficiente angular) define la relación entre la altura y la longitud horizontal, por ejemplo, de un plano inclinado o de un triángulo rectángulo; Seguramente habrás conocido este concepto en las señales de tráfico (Fig. 3). En general, la inclinación viene dada por la ecuación

Fig. 3:

La definición estricta de una derivada, de hecho, es el límite de la relación incremental:

Este informe describe la inclinación de una línea secante a la curva  que pasa por los punto. De hecho, el numerador  se puede ver como la altura de un plano inclinado, cuya longitud horizontal es simplemente  . El límite dice que debe ser un número infinitamente cercano a cero, lo que significa que la distancia entre dos punto es prácticamente inexistente. De hecho, lo que inicialmente era una secante se convierte en una tangente a la curva,como podemos observar en la Fig 4

Fig 4

Antes de mirar un ejemplo simple, recapitulamos los conceptos  claves de una derivada

 

  • … representa la variabilidad de la función primitiva con respecto a la variable independiente;
  • … de una función y otra una función a su vez;
  • … evaluando un punto dado, representa la inclinación de la tangente a la curva en ese punto.

Fig. 5: Una parábola y su derivada. Las líneas verde y azul son tangentes a la curva en los puntos x = -2 y x = 2, respectivamente.

 

En el ejemplo (Fig. 5) tenemos los gráficos de una función () y su derivada () : la primera es una parábola, mientras que la segunda es una línea recta. Las funciones y sus derivados se representan generalmente con sus respectivos gráficos  uno encima del otro; esto se debe a que la variable independiente es la misma y esta disposición facilita la comprensión de su relación.

 

Observando   ,podemos ver que la derivada es positiva, lo que significa que la función crece con  , es decir, la inclinación de cualquier recta tangente  para  es positiva. Sin embargo, el valor de la derivada está disminuyendo con una tasa constante, esto significa que incluso la “velocidad” de crecimiento del valor de f está disminuyendo. Como consecuencia, las líneas tangentes de la curva tienden cada vez más a una línea horizontal.

 

La situación extrema ocurre para  , que corresponde al vértice de la parábola y al punto donde la derivada es  . Los puntos que tienen la derivada igual a  se llaman puntos críticos o puntos estacionarios. Juegan un papel fundamental en el análisis matemático y de ML, ya que representan puntos que corresponden a los puntos máximos, mínimos y de silla de una función. Muchos algoritmos de aprendizaje automático giran en torno a la búsqueda de los mínimos de una función, por lo que es importante tener un conocimiento mínimo de los derivados y su significado.

 

Con ,  la derivada es negativa y su valor absoluto continúa creciendo. Esto significa que la función primitiva disminuirá en valor con x que la “velocidad” con la que esto sucede crecerá con cada paso. De hecho, esto es exactamente lo que le sucede a la parábola.

 

El propósito de este tutorial fue brindarle una comprensión general de cómo funciona una derivada y su significado, sin utilizar demasiadas ecuaciones. Obviamente, es necesario un análisis más profundo y riguroso del tema si comprendemos completamente los problemas más complejos que surgen en el aprendizaje automático. Pero no tengas miedo, ¡no es tan complicado!

 

 

Las Figuras 3 y 4 fueron tomadas de Wikipedia.